行きたくて

wanting to go

→ 行く
行き to go + たく Desiderative (want to) + て Te-form (conjunctive form)
verb · informal Rare #37,267
wanting to go Connects to what follows; in 行きたくてたまらない, it means “want to go so badly.”
JA: 日本へ行きたくて、日本語を勉強しています。
EN: I want to go to Japan, so I’m studying Japanese.
Conjugation of 行く

私は外国へ行きたくてたまらない。

I’m dying to go abroad.

彼女はパーティーに行きたくてたまらなかった。

She was desperate to go to the party.

ニューヨークへ行きたくてたまらない。

I’m dying to go to New York.

オーストラリアに行きたくてたまらない。

I’m dying to go to Australia.