こようか

shall I go and …?

→ 来る
phrase Common #3,742
shall I go and …? When attached to a verb’s て-form, offers to go do something and come back, often bringing something.
JA: 飲み物を買ってこようか?
EN: Shall I go buy some drinks?

呼んでこようか?

Shall I go get them?

— 道 (1954)

私、聞いてこようか

Want me to go ask?

— Tampopo (1985)

何か持ってこようか?

Shall I bring you something?

— ブレット・トレイン (2022)

何か飲み物持ってこようか?

Would you like me to bring you something to drink?

お風呂入ってこようかな。

I think I’ll go take a bath.

何もかも捨てて-妻や娘と一緒にここへ移ってこようかな

Maybe I should leave everything behind and move here with my wife and daughter.

— ストーカー (1979)

買ってこようか?

Shall I go buy it?

— ブエノスアイレス (1997)

何か買ってこようか

Shall I go buy something?

— 花様年華 (2000)

中に忘れてきた取ってこようか?

I left it inside. Should I go get it?

— TAXi (1998)