自分の名前が

one's own name

→ 自分
phrase Uncommon #15,825
one's own name が marks the name as the subject; 自分の refers to the person indicated by context.
JA: 自分の名前が呼ばれた。
EN: My name was called.

ああ、おれも自分の名前が書かれた弾丸を見た

Yeah, I saw a bullet with my name on it too.

— ミスティック・リバー (2003)

彼は自分の名前が後ろから呼ばれるのを聞いた。

He heard his name being called from behind.

私は自分の名前が黒板に書かれているのを見つけた。

I found my name written on the blackboard.

彼女は自分の名前があるか名簿に目を通した。

She looked through the list to see if her name was on it.

自分の名前が書けるようになったのって、何歳の時?

How old were you when you learned to write your own name?