彼が病気だという

that he is sick

→ 彼
phrase Rare #35,414
that he is sick という marks the preceding clause as something said or reported; it is often followed by こと, の, or 事実.
JA: 彼が病気だということを聞いた。
EN: I heard that he is sick.

彼が病気だというのは明らかなようだ。

It seems obvious that he is sick.

彼が病気だというのは一体本当だろうか。

I wonder if it's really true that he's sick.

彼が病気だという事実は、彼女にはそれほど大したことではなかった。

The fact that he was sick wasn’t that big a deal to her.

つい彼が病気だということをしゃべってしまった。

I accidentally let it slip that he was sick.