その音で

because of that sound

→ 其の
phrase Rare #39,294
because of that sound で marks the sound as the cause or trigger of what happened.
JA: その音で赤ちゃんが起きた。
EN: The baby woke up because of that sound.

その音で鳥は飛び去った。

The bird flew away at the sound.

私たちはその音で興奮した。

We got excited by that sound.

その音で私は目覚めた。

That sound woke me up.

その音で目覚めた。

I woke up to that sound.